Geometrische Würfel. Was ist eine Würfeldiagonale und wie findet man sie?

Oder ein Hexaeder) ist eine dreidimensionale Figur, jede Fläche ist ein Quadrat, in dem, wie wir wissen, alle Seiten gleich sind. Die Diagonale des Würfels ist ein Segment, das durch die Mitte der Figur verläuft und symmetrische Eckpunkte verbindet. In einem regulären Hexaeder gibt es 4 Diagonalen, und alle sind gleich. Es ist sehr wichtig, die Diagonale der Figur selbst nicht mit der Diagonale ihres Gesichts oder Quadrats zu verwechseln, das an ihrer Basis liegt. Die diagonale Fläche des Würfels verläuft durch die Mitte der Fläche und verbindet die gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats.

Formel zum Finden der Würfeldiagonale

Die Diagonale eines regulären Polyeders kann mit einer sehr einfachen Formel ermittelt werden, an die man sich erinnern muss. D = a√3, wobei D die Diagonale des Würfels und die Kante ist. Wir geben ein Beispiel für ein Problem, bei dem es notwendig ist, eine Diagonale zu finden, wenn bekannt ist, dass die Länge ihrer Kante 2 cm beträgt: Hier ist alles nur D = 2√3, und es muss auch nichts berücksichtigt werden. Im zweiten Beispiel sei der Rand des Würfels √3 cm, dann erhalten wir D = √3√3 = √9 = 3. Antwort: D ist 3 cm.

Die Formel, mit der Sie die Diagonale der Würfelfläche ermitteln können

Diago Sie können auch ein Gesicht anhand der Formel finden. Die Diagonalen, die an den Rändern liegen, sind nur 12 Stück, und sie sind alle gleich. Jetzt erinnern wir uns an d = a√2, wobei d die Diagonale des Quadrats ist und auch die Kante des Würfels oder die Seite des Quadrats ist. Es ist sehr einfach zu verstehen, woher diese Formel stammt. Immerhin sind die beiden Seiten des Quadrats und die Diagonale: In diesem Trio spielt die Diagonale die Rolle der Hypotenuse, und die Seiten des Quadrats sind die Beine, die die gleiche Länge haben. Erinnern Sie sich an den Satz von Pythagoras, und alles wird sofort zusammenfallen. Nun die Aufgabe: Der Rand des Hexaeders ist √8 cm, es ist notwendig, die Diagonale seines Gesichts zu finden. Wir fügen in die Formel ein und erhalten d = √8 √2 = √16 = 4. Antwort: Die Diagonale der Würfelfläche beträgt 4 cm.

Wenn die Diagonale der Würfelfläche bekannt ist

Durch die Bedingung des Problems erhalten wir nur die Diagonale der Fläche eines regulären Polyeders, dh √2 cm, und wir müssen die Diagonale des Würfels finden. Die Formel zur Lösung dieses Problems ist etwas komplizierter als die vorherige. Wenn wir d kennen, können wir den Rand des Würfels finden, basierend auf unserer zweiten Formel d = a√2. Wir erhalten a = d / √2 = √2 / √2 = 1 cm (dies ist unsere Kante). Und wenn diese Größe bekannt ist, ist es einfach, die Würfeldiagonale zu finden: D = 1√3 = √3. So haben wir unser Problem gelöst.

Wenn die Oberfläche bekannt ist

Der folgende Lösungsalgorithmus basiert auf dem Ermitteln der Diagonale unter der Annahme, dass sie 72 cm 2 beträgt. Zunächst finden wir die Fläche eines Gesichts, von denen es insgesamt sechs gibt, also müssen 72 durch 6 geteilt werden, wir erhalten 12 cm 2. Dies ist der Bereich einer Facette. Um die Kante eines regulären Polyeders zu finden, muss die Formel S = a 2 aufgerufen werden, was a = √S bedeutet. Ersetzen Sie und wir erhalten ein = √12 (Rand des Würfels). Und wenn wir diesen Wert kennen, dann ist die Diagonale nicht schwer zu finden. D = a √ 3 = √ 12 √ 3 = √ 36 = 6. Die Antwort: Die Würfeldiagonale beträgt 6 cm 2.

Wenn die Länge der Würfelkanten bekannt ist

Es gibt Fälle, in denen das Problem nur die Länge aller Kanten des Würfels angibt. Dann ist es notwendig, diesen Wert durch 12 zu dividieren. Das ist die Anzahl der Seiten im rechten Polyeder. Wenn zum Beispiel die Summe aller Kanten 40 ist, ist eine Seite gleich 40/12 = 3,333. Wir fügen in unsere erste Formel ein und bekommen die Antwort!

In dem du den Rand des Würfels finden musst. Dies ist die Definition der Länge einer Würfelkante durch die Fläche der Würfelfläche, durch das Volumen des Würfels, durch die Diagonale der Würfelfläche und durch die Diagonale des Würfels. Berücksichtigen Sie alle vier Optionen für solche Aufgaben. (Die verbleibenden Aufgaben sind in der Regel Variationen der obigen Aufgaben oder Aufgaben in der Trigonometrie, die sich sehr indirekt auf das betreffende Thema beziehen.)

Wenn Sie den Bereich der Fläche des Würfels kennen, ist es sehr einfach, den Rand des Würfels zu finden. Da die Fläche des Würfels ein Quadrat mit einer Seite ist, die dem Rand des Würfels entspricht, entspricht seine Fläche dem Quadrat des Randes des Würfels. Daher ist die Länge der Kante des Würfels gleich der Quadratwurzel der Fläche seiner Fläche, das heißt:

und - die Länge des Randes des Würfels,

S ist die Fläche der Würfelfläche.

Noch einfacher ist es, das Gesicht eines Würfels in seinem Volumen zu finden. Unter der Annahme, dass das Volumen des Würfels gleich dem Würfel (dritten Grades) der Länge des Würfelrandes ist, erhalten wir, dass die Länge des Würfelrandes gleich der Wurzel des Würfels (dritten Grades) seines Volumens ist, dh:

und - die Länge des Randes des Würfels,

V ist das Volumen des Würfels.

Das Ermitteln der Länge einer Würfelkante entlang bekannter diagonaler Längen ist etwas schwieriger. Bezeichnen durch:

und - die Länge der Würfelkante;

b ist die diagonale Länge der Würfelfläche;

c - die Länge der Würfeldiagonale.

Wie aus der Figur ersichtlich ist, bilden die Diagonale der Fläche und die Kanten des Würfels ein rechteckiges gleichseitiges Dreieck. Nach dem Satz von Pythagoras gilt daher:

Ab hier finden wir:

(um den Rand des Würfels zu finden, müssen Sie extrahieren Quadratwurzel vom halben Quadrat der Gesichtsdiagonale).

Um die Kante des Würfels entlang seiner Diagonale zu finden, verwenden wir das Muster erneut. Die Diagonale des Würfels (c), die Diagonale der Fläche (b) und die Kante des Würfels (a) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Also, nach dem Satz von Pythagoras:

Wir verwenden die obige Beziehung zwischen a und b und ersetzen sie in der Formel

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. Wir bekommen:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, woher wir finden:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, daher:

Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Kanten alle gleich sind. Daher werden die allgemeine Formel für das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds und die Formel für seine Oberfläche im Fall eines Würfels vereinfacht. Außerdem können das Volumen des Würfels und seine Oberfläche ermittelt werden, wenn das Volumen der darin eingeschriebenen Kugel oder der um sie herum beschriebenen Kugel bekannt ist.

Du wirst brauchen

• Würfelseitenlänge, Radius der beschrifteten und umschriebenen Kugel

Anweisung

Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist: V = abc - wobei a, b, c seine Dimensionen sind. Daher ist das Volumen des Würfels gleich V = a * a * a = a ^ 3, wobei a die Länge der Würfelseite ist.Die Oberfläche des Würfels ist gleich der Summe der Flächen aller Flächen. Der Würfel hat sechs Flächen, seine Oberfläche ist also S = 6 * (a ^ 2).

Lass die Kugel in den Würfel passen. Offensichtlich entspricht der Durchmesser dieser Kugel der Seite des Würfels . Ersetzt man die Länge des Durchmessers im Ausdruck für das Volumen anstelle der Länge der Würfelkante und verwendet, dass der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht, so erhält man V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), wobei d der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises ist und r ist der Radius des Inkreises.Die Oberfläche des Würfels ist dann S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Lassen Sie den Ball um einen Würfel herum beschreiben. Dann fällt sein Durchmesser mit der Diagonale des Würfels zusammen . Die Diagonale des Würfels verläuft durch die Mitte des Würfels und verbindet seine beiden gegenüberliegenden Punkte.
Betrachten Sie zunächst eine der Seiten des Würfels . Die Kanten dieser Facette sind die Beine eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Diagonale von Gesicht d eine Hypotenuse ist. Dann erhalten wir nach dem Satz von Pythagoras: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Betrachten Sie dann das Dreieck, in dem die Hypotenuse die Diagonale des Würfels und die Diagonale der Fläche d und eine der Kanten des Würfels a die Beine ist. In ähnlicher Weise erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Entsprechend der abgeleiteten Formel ist die Diagonale des Würfels D = a * sqrt (3). Daher ist a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Daher ist V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), wobei R der Radius der beschriebenen Kugel ist. Die Oberfläche des Würfels ist S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Oft gibt es Aufgaben, bei denen Sie den Rand eines Würfels finden müssen, oft sollte dies auf der Grundlage von Informationen über sein Volumen, seine Facettenfläche oder seine Diagonale erfolgen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Würfelkante zu definieren.

In diesem Fall kann die Kante leicht bestimmt werden, wenn die Fläche des Würfels bekannt ist. Die Fläche des Würfels ist ein Quadrat mit einer Seite, die dem Rand des Würfels entspricht. Dementsprechend ist seine Fläche gleich der quadratischen Kante des Würfels. Sie sollten die Formel verwenden: a = √S, wobei a die Länge der Würfelkante und S die Fläche der Würfelfläche ist. Noch einfacher ist es, eine Würfelkante anhand ihres Volumens zu finden. Es ist notwendig zu berücksichtigen, dass das Volumen des Würfels gleich Würfel (im dritten Grad) die Länge der Würfelkante. Es stellt sich heraus, dass die Länge der Kante der Kubikwurzel ihres Volumens entspricht. Das heißt, wir erhalten die folgende Formel: a = √V, wobei a die Länge der Kante des Würfels und V das Volumen des Würfels ist.

Diagonal finden Sie auch den Rand des Würfels. Dementsprechend brauchen wir: a - die Länge des Würfelrandes, b - die Länge der Diagonale der Würfelfläche, c - die Länge der Diagonale des Würfels. Nach dem Satz von Pythagoras erhalten wir: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, und von hier können Sie leicht die folgende Formel ableiten: a = √ (b ^ 2/2), die den Rand des Würfels extrahiert.

Unter Verwendung des Satzes von Pythagoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2) können wir wiederum die folgende Beziehung erhalten: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, woraus wir ableiten: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, daher kann der Rand des Würfels wie folgt erhalten werden: a = √ (c ^ 2/3).